Застосування похідної

Нехай функція f(x) визначена на проміжку (a;b) і x­0 ­є (a;b).
Функція називається Зростаючою в точці x, якщо існує інтервал (x0-δ; x0+δ), де δ > 0, який міститься у проміжку (a;b) і є таким, що f(x) < f (x­­0­­) для всіх x з інтервалу (x0-δ; x0) і f(x) > f(xo)  для всіх x з інтервалу (xo; xo+δ).

Функція називається Спадною в точці x­o, якщо існує інтервал (x0-δ; x0+δ), який міститься в проміжку (a; b) і є таким, що f(x) > f(x­0) для будь-якого x з інтервалу (x0-δ; x­o) і f(x) < f(x0) для будь-якого x з інтервалу (xo;xo+δ).
Якщо функція y = f(x) зростаюча (спадна) у кожній точці проміжку (a;b), то вона зростаюча (спадна) на цьому проміжку.

Теорема 1. Якщо функція f(x) в кожній точці інтервалу (a;b) має похідну f ’(x) > 0, (f ’(x)<0), то функція зростає (спадає) на (a;b).
Зверніть увагу:
1) Якщо функція f є неперервною в якомусь із кінців інтервалу (a;b), то цю точку можна приєднати до інтервалу зростання (спадання).
2) Для розв’язування задач зручно користуватися таким твердженням: точки, у яких похідна дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції f на проміжки, у кожному з яких f ‘ зберігає незмінний знак.
Внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує, називаються Критичною точкою функції.
Внутрішня точка області визначення, у якій f ‘ (x) = 0, називається Стаціонарною точкою функції.

Теорема 2. Якщо функція f(x) у внутрішній точці області визначення має екстремум, то в цій точці похідна f ’ (x), якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо функція f є неперервною в точці x­­­o, а f ’(x) > 0 на інтервалі (a; xo) і f ’(x) < 0 на інтервалі (xo; b), то точка xo є точкою максимуму функції.

Теорема 4. Якщо функція f є неперервною в точці xo, а f ’ (x) < 0 на інтервалі (a; xo) і f ’(x) > 0 на інтервалі (xo; b), то точка xo є точкою мінімуму функції f.

Теорема 5. Нехай точка xo є стаціонарною для функції f(x) і нехай в цій точці існує похідна другого порядку f’’(x)≠0. Тоді, якщо f’’>0, то xo є точкою мінімуму і, якщо f’’(x)<0, то x­o є точкою максимуму функції f(x).

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку [a;b], треба знайти всі локальні максимуми (мінімуми) і порівняти їх зі значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку [a; b].
Позначення: [a; b] max f(x); min f (x) [a;b].

Записи створено 44

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.