Трикутники

Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.
На рисунку праворуч:
MN││AC; MN=1/2 AC.

У трикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і вдвічі меншими сто­ронами. На рисунку нижче ABC — трикутник; MNNKMK — його середні лінії. Чотирикутники AMNKBNKMMNCK — паралелограми.

Теорема 2. Середня лінія трикутника ділить навпіл висоту, бісектрису, медіану трикутника, що проведені до паралельної їй сторони:

Спираючись на властивість середньої лінії, легко довести, що:
1) середини сторін чотирикутника є вер­шинами паралелограма (рисунок 1);
2) середини сторін прямокутника є вершинами ромба (рисунок 2);
3) середини сторін ромба є вершинами прямокутника (рисунок 3);

рис.1
рис.2 рис.3

4) середини сторін квадрата є вершинами квадрата (рисунок нижче зліва);
5) медіани довільного трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини ( BO=2OD і т. д.) (рисунок справа).

Теорема Піфагора

Теорема 1 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора.
Теорема 2 (обернена). Коли в трикутнику сторони abc і a2+b2=c2то цей трикутник є прямокутним з гіпотенузою c.
Теорема 3. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.
Корисно пам’ятати довжину сторін деяких прямокутних трикутників.
Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць.
Тобто можливі варіанти: 3, 4, 5 або 6, 8, 10, або 3k, 4k, 5k, де k ∈ N.
Також прямокутними є трикутники зі сторонами, які дорівнюють 5k, 12k, 13k; 8k, 15k, 17k; 7k, 24k, 25k, де k ∈ N.

Перпендикуляр і похила

Нехай BA — перпендикуляр, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від (див. рисунок). Відрізок BC називається похилою, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається основою похилої. Відрізок  називається проекцією похилої.

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, в якої проекція більша. На рисунку BDBCBP — похилі, AB — перпендикуляр, BC=BD; BC>BA; AD=AC.

Нерівність трикутника

Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них до третьої точки.
Звідси випливає, що у будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль різниці двох інших сторін.

Якщо ab і c — сторони трикутника (див. рисунок), то
│b-c│<a<b+c;
│a-c│<b<a+c;
│b-a│<c<b+1.

Співвідношення між сторонами й кутом прямокутного трикутника

Нехай ABC — прямокутний трикутник з прямим кутом С і гострим кутом при вершині A, що дорівнює α.
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення при­лег­лого катета до гіпотенузи.
На рисунку cosα = AC/BA або cosα = b/c.

Синусом кута α називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
sinα = BC/AB або sinα = a/c.
Тангенсом кута α називається відношення протилежного катета до прилеглого:
tgα = CB/AC або tgα = a/b.
Котангенсом кута α називається відношення прилеглого катета до протилежного:
ctgα = AC/BC або ctgα = b/a.
Значення sinα, cosα, tgα, ctgα залежать тільки від величини кута.
З означень випливає, що для гострих кутів α і β прямокутного трикутника (див. рисунок) маємо:

sinα = cosβα; tgα = ctgβ ;
cosα = sinβ; ctgα=tgβ;
tgα ⦁ ctgα = 1, а також sinα < 1, cosα < 1.
Треба вміти знаходити елементи прямокутного трикутника, якщо дані яка-небудь сторона й один із гострих кутів.
Розглянемо такі задачі.
1. Дано: AB = c; кут A = α (гіпотенуза і гострий кут).
Знайти: ba; β.

Розв’язання:
β = 90o– α; a = c⦁sinα; b = c ⦁ cosα.
2. Дано: AC = b;
кут A = α (катет і прилеглий кут).
Знайти: ac; β.

Розв’язання:
β = 90o– α; a = b ⦁ tgα; c = b/cosα .
3. Дано: BC = a;
кут A = α (катет і протилежний кут).
Знайти: bc; β.

Розв’язання:
β = 90o– α; b = a ⦁ ctgα; c = a/sinα.
Катет, прилеглий до кута α, дорівнює добутку гіпотенузи і cosα.
Катет, протилежний куту α, дорівнює добутку гіпотенузи і sinα.
Катет, протилежний куту α, дорівнює добутку другого катета і tgα.
Значення sinα, cosα, tgα, ctgα деяких кутів:

Корисним є знання таких співвідношень.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою й проекцією цього катета на гіпотенузу.
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
На рисунку нижче в трикутнику ABC:

AC2 = AD ⦁ AB;
BC2 = DB ⦁ AB; 
CD2 = AD ⦁ DB.

Записи створено 61

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.