Тригонометричні функції

Тригонометричні функції – це функції кута, а також відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

Радіанна система вимірювання кутів і дуг

1 радіан – це такий центральний кут, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса.
Формули переходу:
від радіанної міри до градусної:
α0 = a ∙ 1800/π;
від градусної до радіанної:
a = π ∙ α0/1800,
де α0 – градусна міра деякого кута, a – його радіанна міра.
Корисно пам’ятати: 2π – 360°, π – 180°, π/2 – 90°, π/3 – 60°, π/5 – 45°, π/6 – 30°.
Якщо кути виміряні в радіанній мірі, спрощується формула довжини дуги l = ra і формула площі сектора S = ar2/2, де l – довжина дуги, r – радіус кола, a – радіанна міра центрального кута, S – площа сектора.

Тригонометричні функції числового аргументу Розглянемо одиничне (тригонометричне) коло, центр якого розташований у точці O(0;0) і радіус якого дорівнює 1 (див. рисунок).

Нехай точка P0 – це точка (1; 0). Кожну іншу точку кола можна дістати поворотом P0 навколо початку координат. Будемо вважати від’ємним напрямок повороту за годинниковою стрілкою, додатним – проти.
Точку, яку дістанемо поворотом P0 навколо початку координат на кут α, назвемо P­α. Очевидно, що значення α можуть бути від -∞ до +∞, причому кути, міри яких відрізняються на 2πn, n ∈ Z, дають на колі одну й ту саму точку. Наприклад: P30o = P390, Pπ:4 = P25π:4.
Введемо означення: sin α = y; cos α = x; tg α = y­Pα : x; ctg α = x: y­Pα. Значення sin α, cos α, tg α, ctg α залежить тільки від кута α.
Для 0 < α < π/2 ці означення дають той самий результат, що й означення за допомогою елементів прямокутного трикутника.

Якщо означення sin α, cos α, tg α, ctg α уведені таким чином, то очевидно, що ми дістали числові функції. Дійсно, кожному значенню α ∈ (-∞;+∞) відповідає єдине значення sin α і cos α. Також кожному дійсному значенню α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z, відповідає єдине значення tg α і кожному значенню α ≠ πn, n ∈ Z, відповідає єдине значення ctg α.

Побудова

Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці P0 (1;0) (див. рисунок нижче). Вона називається Лінією тангенсів, тому що ордината точки перетину прямої OPα із прямою t дорівнює тангенсу кута α (α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці Pπ:2 (див. рисунок на с. 73). Для довільного числа α ≠ π : 2 + πn, n ∈ Z, абсциса точки перетину прямої OPα з прямою q дорівнює котангенсу кута α. Тому пряма q називається Лінією котангенсів.

Cпіввідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:

  1. Sin2α + cos2α = 1;
  2. tg α = sin α: cos α (cos α ≠ 0)
  3. ctg α = cos α: sin α (sin α ≠ 0)
  4. tg α ∙ ctg α = 1 (sin α ∙ cos α ≠ 0)
  5. ctg2α + 1 = 1 : sin2α (sin α ≠ 0)
  6. tg2α + 1 = 1: cos2α (cos α ≠ 0)

Основною для виведення решти формул є формули додавання:

cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β;

sin (α-β) = sinα cosβ – cosα sinβ;

cos (α+β) = cosα cosβ – sinαsinβ;

sin (α+β) = sinα cosβ+ cosα sinβ;

tg (α+β) = (tgα + tgβ): (1-tgα tgβ); tg (α-β) = (tgα – tgβ): (1+tgα tgβ).

Координатні чверті

З означення тригонометричних функцій легко зробити висновок щодо знаків тригонометричних функцій у координатних чвертях

Це зображення має порожній атрибут alt; ім'я файлу image-14.png

Також можете перейти на продовження статті: Властивості тригонометричних функцій.

Записи створено 61

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.