Теорема Вієта

Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння ax2+bx+c = 0 має два корені, то x1+x2 = -(b:a), x1∙x2 = (c:a).
Якщо зведене квадратне рівняння x2+ px + q = 0 має два корені, то x1 + x2 = – p; x1∙x2 = q.

Коли рівняння має один корінь, його можна вважати за два рівних: x1= x2. Тоді для незведеного квадратного рівняння 2x1 = -(b:a); (x­­­1)2 = c:a; для зведеного 2x1 = – p, (x­­­1)2 = q.
Зверніть увагу: для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади
Знайти суму й додаток коренів рівняння.
1) 3x2-5x+2 = 0;
D= 25-3∙2∙4 = 1 – додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.
Отже, x1+x2 =5:3; x1∙x2=2:3.
2) x2+3x+10 = 0;
D = 9 – 40 = -31– від’ємне число.

Рівняння

не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.
Теорема 2 (обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел x1 і x2 дорівнюють відповідно p і q, то x1 і x2 є коренями рівняння x2+px+q = 0.

Із теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння x2+ px + c = 0 є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників q коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.
Під час розв’язування треба також враховувати такі Висновки з теореми Вієта.
1. Якщо q<0, x1 і x2 мають різні знаки.
2. Якщо q>0, x1 і x2 обидва від’ємні чи обидва додатні. Знак x1 і x2 є протилежним до знака p.
Приклад
x2– 8x – 9 = 0.
За теоремою Вієта:
x1 ∙ x2 = -9; x1 + x2 = 8; 9 = 1 ∙ 9 = 3 ∙ 3.
Очевидно, що 8 = 9 + (-1).
Відповідь: x1 = – 1; x2 = 9.

Записи створено 35

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.