Швидкість і прискорення (частина друга)

Швидкість і прискорення (перша частина)

Шлях, який пройшло тіло за змінного прискорення, визначається так само. Визначивши зміну швидкості з часом, тобто вид функції υ = υ(t) з формули (1.7), знову розділимо пройдений час t на малі проміжки Δt1, Δt2,…, на кожному з яких швидкість тіла можна вважати рівною υ1, υ2, …

Швидкість і прискорення
(1.8)

На рис. 1.1 дано графічне пояснення цього підрахунку. Крива MN показує, як змінюється швидкість руху тіла з часом, тобто визначає функцію υ =υ (t) . Заштрихована частина, що дорівнює υiΔti , у масштабі креслення зображує шлях, який пройшло тіло за час Δti . Підсумовуючи такі частини, отримаємо весь шлях, який пройшло тіло за час t = t2 – t1. Цей шлях, тобто інтеграл (1.8), буде зображено площиною M0MNN0 .

Під час визначення швидкості за формулою υ = s / t шлях s, який пройшло тіло, зазвичай беруть за абсолютною величиною, тому швидкість руху буде додатною величиною. Проте в багатьох випадках переміщення s визначають як різницю координаттіла, яке рухається в кінцеву й початкову мить часу:

(1.9)

Тоді знак швидкості буде залежати від того, в якому напрямку переміщується тіло. Якщо воно переміщується в напрямку зростання координати х, то x2 > x1 , то його швидкість додатна. Якщо ж тіло рухається в напрямку зменшення координати х, то x2 < x1 ,то швидкість переміщення — від’ємна величина. У зв’язку з цим знак прискорення

визначають не лише збільшенням чи зменшенням швидкості завеличиною, а й знаком самої швидкості.

Рух точкового тіла

Розглянемо рух точкового тіла вздовж деякої криволінійної
траєкторії; у початкову мить часу t = 0 тіло перебуває в точці А (рис. 1.2) і має швидкість υ. Швидкість тіла в цій точці зображується вектором, спрямованим по дотичній до траєкторі в напрямку руху тіла. Візьмемо іншу точку В, яка розміщена настільки близько до точки А, що прискорення руху тіла на ділянці АВ =Δs можна було б вважати постійним. На рис. 1.2 а показано, що до вектора швидкості v у точці А потрібно додати вектор Δv, щоб отримати швидкість тіла v1 у точці В. Відношення Δv/Δt є за величиною та напрямком середнім прискоренням на ділянці АВ. Зменшуючи довжину цієї ділянки, можна знайти границю відношення,

(1.10)

яка є вектором прискорення в цій точці траєкторії (або в цю мить часу); це прискорення характеризує зміну швидкості і за величиною, й напрямком.

Розкладемо Δv на дві складові: Δv1 і Δv2 , так, щоб Вс = Вd = υ. Складова Δv1 визначає зміну швидкості лише за величиною: якщо рух тіла рівномірний, υ1 = υ , то Δv1 = 0 . Інша складова Δv2 існує і за рівномірного руху; очевидно, Δv2 = 0 тоді, коли рух тіла прямолінійний. Якщо кут α → 0, то β → π/2 і вектор Δv2 стає перпендикулярним вектору швидкості v. Таким чином, вектор прискорення [див. формулу (1.10) ] можна подати у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних векторів:

(1.11)

Тангенціальне прискорення

Величину at називають вектором тангенціального прискорення, яка характеризує зміну швидкості лише за величиною. Це прискорення спрямоване по дотичній до траєкторії або проти неї залежно від того, є рух прискореним чи сповільненим (рис. 1.2).

Тангенціальне прискорення
рис. 1.2

За числовим значенням тангенціальне прискорення дорівнює.

Тангенціальне прискорення

Величина an називається вектором нормального або доцентрового прискорення й характеризує зміну швидкості лише за напрямком. Це прискорення завжди перпендикулярне до напрямку швидкості. Для його обчислення припустимо, що точка В знаходиться доволі близько до точки А, тому Δs можна вважати дугою кола деякого радіуса R, при цьому за величиною ця дуга мало відрізняється від хорди АВ. Тоді з подібності трикутників ОАВ і Bdc випливає:

Величина повного прискорення
(1.12)

Криволінійну траєкторію будь-якої форми можна уявити як сукупність елементарних ділянок, кожна з яких розглядається як дуга кола деякого радіуса R (який називається радіусом кривизни кривої в околі цієї точки траєкторії). За формулою (1.12) значення нормального прискорення в кожній точці траєкторії визначається швидкістю руху й радіусом кривизни траєкторії в цій точці. Величина повного прискорення в цій точці траєкторії.

Величина повного прискорення
(1.13)

Наведемо класифікацію руху залежно від тангенціальних і нормальних складових прискорення:

  • an = 0; at = 0 — прямолінійний рівномірний рух;
  • an = 0; at = ±const — прямолінійний рівноприскорений (+) чи рівносповільнений (–) рух;
  • an = 0; at = f (t) — прямолінійний рух із змінним прискоренням;
  • an = f (t); at = 0 — рівномірний криволінійний рух. Якщо an = const , то рух відбувається по колу;
  • an ≠ 0; at ≠ 0 — криволінійних рух зі змінним [at = f (t)] чи постійним (at = ±const) прискоренням.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *