Треба добре розуміти: коли ми доводимо теорему або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обґрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову.
Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або довести.
Задача на ознаки рівності трикутників
Задача. На рисунку АС=СВ; кут MAF= кут TDK. Довести, що ∆ABC=∆DEC
Доведення: (Зверніть увагу: дані кути кут MAF= кут TDK не є кутами трикутників, що розглядаються.)
1) кут BAC= кут CDE як вертикальні з рівними кутами (кут MAF і кут TDK відповідно).
2) Розглянемо ∆ABC і ∆DEC.
кут BAC= кут CDEза доведеним;
кутBCA=кутCDE як вертикальні;
АС=СD за умовою.
Отже, ∆ABC=∆DEC за стороною й двома прилеглими до неї кутами.
Задача на рівнобедрений трикутник
Задача. На рисунку AD=FC; кут MAB=кут NCB. Довести, що ∆DBF — рівнобедрений.
Доведення:
1) кут BAD= кут BCF як суміжні з рівними між собою кутами кут МАВ і кут NCB.
2) Розглянемо ∆АВС: кут ВАС = кут ВСА, значить, АВ=ВС за ознакою рівнобедреного трикутника.
3) Розглянемо ∆АВD і ∆CBF: AD = CF за умовою; кут BAD= кут BCF за доведеним; АВ=ВС за доведеним.
Значить, ∆АВD=ВСF за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними).
4) BD=BF як відповідні елементи рівних трикутників.
Отже, ∆DEF — рівнобедрений трикутник за означенням.
Задача на паралельність прямих
Задача. На рисунку кут 1+ кут 2=140о;кут 4 = 1200. Знайти: кут 3.
Розв’язання
1) кут 1= кут 2, значить, a││b за ознакою паралельних
прямих, оскільки кут 1 і кут 2 є зовнішніми різносторонніми при
прямих a, b і січній c.
2) кут 3 і кут 4 є внутрішніми односторонніми
при a││b і
січній c. Значить, кут 3+ кут
4= 1800 за властивістю паралельних прямих. Отже, кут 3 = 600.
Задача на суму кутів трикутника
Задача. Один із кутів трикутника дорівнює 1000. Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут 200. Знайдіть невідомі кути трикутника.
Розв’язання.
Нехай у ∆АВС ∆АВС=1000; BN — висота (ВN⏊AC); BL — бісектриса кут АВС; кут NBL=200 (див. рисунок).
Знайти: кут ВАС, кут ВСА.
1) BL — бісектриса кут АВС за умовою. Значить, кут LBA= кут LBC.
2) кут АВN= кут АВL-кут NВL=300 за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо ∆ABN: кут ANB= 900 за умовою; кут ABN=300 за доведеним; кут BAC= кут BAN= 900-300=600 за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника.
4) Розглянемо ∆ABC: кут ABC=1000 за умовою; кут BAC=600 за доведеним; кут BCA= 1800 –(1000+600)=200 за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: 600; 200.
Задача на коло
Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти кут AOB, якщо кут ABC = 630.
Розв’язання
1) OB — радіус, проведений у точку дотику.
Значить, за означенням дотичної: кут CBO=900.
2) кут ABO=900-630=270 за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо ∆AOB: ∆AOB рівнобедрений, бо AO=OB як радіуси одного кола; це означає, що кут ABO = OAB як кути при основі рівнобедреного трикутника.
4) кут AOB=1800-270×2=1800-540=1260 за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: 1260.
Додаткова побудова
У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент, якого не було в умові,— зробити додаткову побудову.
Задача 1
На рисунку DM=DE; FM=FE.
Довести, що кут DMF= кут DEF.
Доведення:
1) Додаткова побудова: DF.
2) Розглянемо ∆DMF і ∆DEF: DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF — спільна. Значить, ∆DMF=DEF за трьома сторонами.
3) ∆DMF=∆DEF як відповідні елементи в рівних трикутниках.
Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника.
Задача 2
Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною.
Доведення:
Нехай у ∆ ABC BD — бісектриса кут ABC;
BD — медіана (див. рисунок).
Довести, що AB=BC.
1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини — DF і з’єднаємо точку F з точкою C.
(Зверніть увагу: це стандартна додаткова побудова у задачах на медіану.)
2) Розглянемо ∆ABD і ∆CFD: AD=CD за умовою; кут ADE= кут CDE як вертикальні; BD=FD за побудовою; Значить, ∆ABD=∆CFD за першою ознакою.
3) кут DFC = кут ABD; CF=AB як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Розглянемо ∆BCF: кут CBD = кут ABD за умовою (BD — бісектриса); кут CBF= кут CFB, значить, BC=FC за ознакою рівнобедреного трикутника.
5) CF = AB; CF = BC, значить, BC=AB, що й треба було довести.
Задача 3
Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.
Розв’язання
Нехай у ∆ABC (див. рисунок) AD⏊BC; BO=OC. кут BAD = кут DAO = кут OAC.
Знайти кут ABC; кут BAC; кут BCA.
1) Додаткова побудова: OM⏊AC.
2) Розглянемо ∆ABD і ∆AOD: AD — спільна; кут ADE=кут ADO за умовою; кут BAD = кут BDO за умовою.
Значить, ∆ABD=∆AOI за другою ознакою. BD=DO як відповідні елементи в рівних трикутниках.
3) Розглянемо ∆AOD і ∆AOM: АО — спільна. кут ADO= кут AMO за умовою; кут DAO= кут MAO за умовою.
Значить, кут DOA= кут MOA за теоремою про суму кутів трикутника. ∆AOD= ∆AOM за другою ознакою. Значить, OD= OM як відповідні елементи в рівних трикутниках. 4) Враховуючи, що АО — медіана трикутник ABC, отримуємо
6) ∆DAC — прямокутний кут (ADC=900); кут C = 300, значить, кут DAC = 600.
