Правильна піраміда

Правильна трикутна піраміда та все що потрібно про неї знати.

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок).

Правильна трикутна піраміда

Центром U ABC є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину – основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра.

На рисунку: кут SBO=α – кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер); кут  SDO=ȹ – кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).

Нехай AB=BC=AC=α. Тоді OB=R=a/√2;OD=r=a/(2√3); R=2r; Отже, tgȹ=2tgα. Sb=(a2√3)/4; Sb=(a2√3)/4cosȹ.

Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди. Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC.

Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BC, SB і AC, SC і AB) є перпендикулярними. Якщо ON⏊SD, то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC. ON=r sin ȹ.

Відстань від основи висоти до бічної грані

Нехай OK⏊AB, тоді SK⏊AB за теоремою про три перпендикуляри. Отже, AB перпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо ON⏊SK, то ON перпендикулярна до площини ASB. ON=Hcosф.

Піраміда називається Правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається Апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.

Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. Sб=Pt/2; Sб=(a⦁n⦁l)/2, де Р – периметр основи, а – сторона основи, l – довжина апофеми.

Правильна чотирикутна піраміда

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка – основа висоти піраміди. Нехай сторона квадрата а (див. рисунок).

Тоді OC=R=(a√2)/2 ; OM=r=a/2; H=SO=(a√2)/2tgα; H =  a/2 tgȹ; tgȹ=√2 tgα.

Правильна чотирикутна піраміда

Зверніть увагу: OM=r, OM⏊CD, тобто OM││BC. При паралельному проектуванні паралельність зберігається. Sосн=a2; Sб= a2/cosȹ. Відстань від основи висоти до бічної грані: ON=r/sinȹ; ON=a/2sinȹ.

Правильна шестикутна

В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка – основа висоти піраміди.

Правильна шестикутна піраміда

Тоді OD=R=α; Нехай сторона правильного шестикутника а.

OM=r=(a√3)/2; H=SO=a tgα; H=SO=(a√3)/2 tgȹ; tgȹ=√3/2 tgα.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *