Послідвності

Розглянемо яку-небудь множину, що містить N0 дійсних чисел і кожний елемент якої відповідає одному з натуральних чисел від 1 до N­0, або нескінченну множину дійсних чисел, кожному елементу якої можна поставити у відповідність натуральне число. Такі числа можна записати в певному порядку. Кажуть, що вони утворюють Послідовність. На­при­клад:
2; 4; 6; 8; … – послідовність парних чисел;
1; 3; 5; …. – послідовність непарних чисел;
1:2; 1:4; 1:8; … – послідовність чисел ви­гл­яду 1:2a;
3; 6; 9; … – послідовність чисел, кратних 3.

Числа, що утворюють послідовність, називаються її Членами і позначаються буквою з індексом. Наприклад, a8 – восьмий член послідовності, b3 – третій член і т. д.
Послідовності можуть бути Скінченні і Нескінченні.
Приклад скінченної послідовності: 12; 14; 16; 18; 20 – послідовність парних чисел, більших від 10, але не більших, ніж 20. Тобто:
a1 = 12; a2 = 14; a3 = 16; a4 = 18; a5 = 20.

Послідовність можна задавати описом, таблицею.
Найзручніший спосіб – це задати послідовність Формулою N-го члена. Наприклад, послідовність чисел, кратних 5, можна задати формулою an = 5n.
Щоб знайти, наприклад, 20-й член послідовності, треба замість n підставити у формулу число 20: a10 = 5⦁20 = 100. Навпаки, щоб дізнатися, який номер має в цій послідовності число 80, треба скласти рівняння 80 = 5n, звідки n = 16 , тобто an = 80.
У випадку рівняння 81 = 5n робимо висновок, що числа 81 серед членів цієї по­слі­дов­но­сті немає, тому що рівняння не має натуральних коренів.
Послідовність можна також задавати формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через один чи кілька попередніх.
Наприклад, нехай a1 = 3, тоді an+1 = 2an – 1.
Послідовність називають Зростаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Послідовність називається Спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього.


Властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Послідовність (yn) називається обмеженою, якщо існує таке число M>0, що для всіх значень n = 1,2, … виконується нерівність │yn│≤ M.
Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності та обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю.
Послідовність (yn) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число M>0, існує таке число N = N (M), що для всіх n > N виконується нерівність │yn│> M.

Записи створено 25

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.