Площі фігур

Геометричну фігуру називають простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.
Для простих фігур площа — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площі її частин;
• площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
На рисунках, поданих нижче, зображені основні геометричні фігури; поруч даються формули їх площ.

Площа паралелограма

Площа паралелограма обчислюється за формулою S = h_a, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота. Оскільки  S_ABCD = h_a ⦁ a = h_b ⦁ b (див. рисунок), то h_a:h_b=a:b. Із двох різних висот паралелограма більша та, яка опущена на меншу сторону.

S S=absinα; AC = d1; BD = d2; S = (d1d2 ⦁ β):2 ; S_ABCD=2S_∆ABD; S_ABCD=2S_∆ABC; Трикутники AOB, BOC, COD, DOA мають рівну площу: S_∆AOB=S_∆BOC=S_∆COD=S_∆DOA=(d1d2 ⦁ sinβ):8.

Площа прямокутника

S=ab; S=1/2 d²sin;

d = AC; 
S=2R²sinα, 
де R — радіус описаного кола, R = AO.

Площа ромба

S= ha, S= a²sinα.
У ромбі висоти дорівнюють одна одній.

S=1/2 d₁d₂ ;

d1 = AC, d2 = BD;
S=2ar, де r — радіус вписаного в ромб кола.

Площа квадрата

S=a²; S=1/2 d².

Площа трикутника

S=1/2 h×a , де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.

Оскільки S∆ABC=1/2 h_a×a=1/2 h_b×b=1/2 h_c×c, h_a ÷h_b÷h_c=1/a÷1/b÷1/c то. Висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, на які вони опущені. Зверніть увагу: більшій стороні трикутника відповідає менша висота, і навпаки. S=1/2 absinγ, S=1/2 rP, де P — периметр трикутника, r — радіус вписаного кола. S=abc/4R, R=abc/4s, де R — радіус описаного кола.
формула Герона

p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

S=1/2 ab; S=1/4 c²sin2α.

Площа рівностороннього трикутника

S=(a²√3)/4.

Властивості медіани трикутника

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (тобто такі, що мають однакову площу) трикутники.

Три медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників. _∆AOM=S_∆MOD=S_∆DOF=S_∆FOC=S_∆COX=S_∆XOA=1/6 S_∆ABC;

Площа трапеції

S_ABCD=h×(a+b)/2 де h — висота, a, b — основи трапеції.
S_ABCD=h⦁m, де h — висота, m — середня лінія.
S_ABCD=1/2 d₁d₂ sinα.
Якщо в трапецію можна вписати коло радіуса r, то S=1/2 rP, де P — периметр трапеції.

Деякі властивості трапеції

Якщо AC⏊BD;S_ABCD=1/2 AC×BD.

Площа чотирикутника

Площа круга

S =pR2Круговим сектором називається частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута (див. рисунок).

де α — гра­дусна міра відповідного центрального кута.
Круговим сегментом називається спільна частина круга й півплощини. На рисунку нижче зліва зображений круговий сегмент, якщо α<180^o; на рисунку справа — круговий сегмент, якщо α>180^o.

Площі подібних фігур

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Зокрема, для трикутників:
U ABC V U A₁B₁C₁;