Паралелограм

Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD — паралелограм. AB││CD; BC││AD.

Властивості паралелограма:

Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: AB=CD, BC=AD (дивись вищенаведений рисунок). У паралелограма протилежні кути рівні: кут А = кут C, кут B = кут D.
Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють 180o:
кут A + кут B = 180o; кут A + кут D = 180o;
кут B + кут C = 180o; кут C + кут D = 180o.
Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться нав­піл; BO=OD.
Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники. На рисунку зліва U ABC = U CDA. На рисунку праворуч U ABD = U CDB.

Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

На рисунку U AOB = U COD; U BOC = U DOA.

Ознаки паралелограма

  • Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.
  • Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
  • Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
  • Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.
  • Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють 180o, то цей чотирикутник — паралелограм.
  • Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм. Кут між висотами паралелограма.

Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах. На рисунку h1 і h2 — висоти паралело­грамa.

Найчастіше висоту опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку зображений кут між висотами паралелограма, опущеними з тупого кута.

Властивості бісектрис кутів паралелограма

  • Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні.
  • Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб).
  • Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник.

На рисунку BM││KD; BM⏊AP; BM⏊CF;U ABP — рівнобедрений; AB=BP; U KCD— рівнобедрений, CK=CD.

Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *