Паралелепіпед

Паралелепіпед — призма, в основі якої лежить паралелограм. Усі грані паралелепіпеда – паралело­грами. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються Протилежними.

Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.

Паралелепіпед

Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок).

Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл. Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром си­метрії. Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній. На рисунку B1D=D1B; A1C=C1A. Це випливає з властивостей похилих, оскільки AA2=BB1=CC1=DD1 – рівні перпендикуляри до площини основи ABCD.

Паралелепіпед

Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на наведеному вище рисунку вважати кут ABC тупим, отримаємо AC>BD,A1C>B1D . Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається Прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок).

Прямокутний

Прямокутний паралелепіпед

Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зо­браження прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображення будь-якого прямого паралелепіпеда. Довжини непаралельних ребер називаються Лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими.

Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. ри­сунки).

паралелепіпеди

Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда.

Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (див. рисунок). Наприклад, U A1DC(кут A1DC=900).

Прямокутні паралелепіпеди

Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії – це точка перетину його діагоналей. Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається Кубом. Площина будь-якого діагонального перерізу куба є його площиною симетрії. Таким чином, куб має дев’ять площин симетрії.

Прямий паралелепіпед

На рисунку розглянемо взаємне розміщення деяких елементів прямого паралелепіпеда:

Прямий паралелепіпед
  • кут С1DC – кут між діагоналлю бічної грані й площиною основи (C1C – перпендикуляр, С1D – похила, СD – проекція).
  • кут C1AC – кут між діагоналлю прямого паралелепіпеда й площиною основи (C­1C – перпендикуляр, AC1 – похила, АС – проекція).
  • кут AC1D – кут нахилу діагоналі AC1 до бічної грані DD1C1C (AD – перпендикуляр, AC1 – похила, DC1 – проекція).

Нехай ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед (див. рисунок), де ABCD – ромб. Проведемо його переріз площиною, що проходить через діагональ основи BD і вершину C1.

Прямий паралелепіпед

У перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник BC1D. кут C1OC – лінійний кут двогранного кута між площинами основи й перерізу. CO⏊BD За властивістю діагоналей ромба, C­1C – перпендикуляр, C1O – похила, СО – проекція. За теоремою про три перпендикуляри: C1O⏊BD.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *