Многогранники

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, – ребром двогранного кута. Півплощини називаються Гранями двогранного кута.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих. Кут, утворений такими півпрямими, називається Лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута.

Многогранники

Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами:
1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами – лінійний кут даного двогранного ­кута.
2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.

Многогранники

Тригранний і многогранний кути

Нехай промені a, b, c виходять з однієї точки й не лежать в одній площині.
Тригранним кутом(abc) називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (ab), (bc), (ac) (див. рисунок). Ці кути називаються Гранями тригранного кута, а їх сторони – Ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається Вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються Двогранними кутами тригранного кута. Аналогічно дають означення Многогранного кута.

Тригранний і многогранний кути

Теорема 1. У тригранному куті кожний плоский кут менший за суму двох інших.

Теорема 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 3600. Многогранник – це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається Опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається Гранню.

На рисунку нижче зліва зображений не­опук­лий многогранник; на рисунку справа – опуклий.

не­опук­лий многогранник, опуклий

Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сто­рони граней називаються Ребрами мно­гогранника, а вершини граней – Вершинами мно­гогран­ника.

Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається Правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер. Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

  • У правильного тетраедра грані – правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр – трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.
  • У куба всі грані – квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб – прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.
  • В октаедра грані – правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра.
  • У додекаедра грані – правильні п’ятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра.
  • В ікосаедра грані – правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по п’ять ребер.

На рисунках наведено приклади правильних многогранників із назвами.

приклади правильних многогранників

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *