Математичний, фізичний і пружинний маятники

Фізичний маятник

(рис.1.6)

Зворотним моментом є момент сили тяжіння, що має знак, протилежний знаку кута відхилення α і дорівнює

M = −Px = −mgl0 sin α;

де l0 — відстань від точки опори до центра тяжіння тіла.За малих кутів відхилення sin α ≈ α (у радіанах);

M = −mgl0α = −Dα;

Тоді зворотний момент пропорційний куту відхилення, і коливання маятника будуть гармонічними.

Порівнюючи з виразом (1.110), отримаємо Jω2 = mgl0 і відповідно

(1.112)

За великих кутів відхилення, а також деформації тіла під час коливання змінні коливання виявляються негармонійними, хоча вони за відсутності або компенсації тертя можуть бути незатухаючими.

Математичний маятник

Математичний маятник (рис. 1.7) являє собою точкове тіло з масою m, підвішене до невагомої та нерозтяжної нитки завдовжки l.

(рис.1.8)

Зворотною силою є проекція сили тяжіння P = mg за напрямом руху тіла. Отже, маємо:

( α — у радіанах). Як бачимо, умова пропорційності між зворотною силою F і зміщенням від стану рівноваги x тут також не дотримується, тому коливання цього маятника не є гармонічними. Та якщо кути α малі, так, що sin α ≈ α , то

оскільки ця сила завжди спрямована до стану рівноваги й тому має знак, протилежний знаку x, то.

У цьому разі коливання можна назвати гармонічними. Порівнюючи з виразом (1.110), отримаємо:

(1.113)

коливається, а визначаються лише довжиною нитки та прискоренням сили тяжіння (коливанням маятників користуються для визначення g). Для того, щоб коефіцієнт K залишався незмінним, а отже, і незмінна частота коливання ω, необхідно, щоб залишалася незмінною довжина нитки l. Водночас, сила VP cos α, що діє вздовж нитки, може викликати її подовження, яке буде мінімальним у крайніх положеннях і максимальним під час проходження тілом точки О. Щоб коливання маятника були гармонічними, необхідно, щоб, крім невеликих кутів відхилення, нитка не розтягувалася.

З цих прикладів видно, що за малих амплітуд, частота (або період) коливання визначається лише властивостями системи. Однак за великих відхилень від стану рівноваги лінійна залежність зворотної сили від зміщення F = −kx , а також зворотного момету від кута повороту M = −Dα строго не дотримується й частота коливання певною мірою залежить від амплітуди коливання ( x0 або α0 ).

Коливальні рухи

Коливальні рухи в механічній системі супроводжуються періодичними перетворенням кінетичної енергії коливальних тіл употенціальну енергію взаємодії частин системи й навпаки. При цьому енергією коливання називають ту частину повної енергіїсистеми, яка бере участь у цих перетвореннях.

Наприклад, енергія пружинного маятника, що коливається в полі тяжіння Землі, складається з потенціальної енергії деформованої пружини, потенціальної енергії положення вантажу та його кінетичної енергії:

Енергію коливального руху можна представити залежно від амплітудних значень зміщення та швидкості: коли x = 0 , v = v0 ; коли x = x0 v = 0 .

(1.114)

Таким чином, енергія коливання Eτ періодично переходить з кінетичної форми в потенціальну: період цих перетворень удвічі менший за період самих коливань, позаяк амплітудне значення зміщення ±x0 або швидкості ±v0 з’являється два рази за період, а енергія Eτ не залежить від знака цих величин. На рис. 1.8 показано зміну з часом складових частин цієї потенціальної енергії:

рис.1.8

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *