Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду ax2 + bx + c, де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому a ≠ 0.

Корнем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яку перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння ax2 + bx + c = 0.

Теорема. Якщо x1 і x2  – корені квадратного тричлена ax2 + bx + c, то ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2).

Квадратична функція – це функція, яку можна задати формулою виду y = ax2 + bx + c, де x – незалежна змінна a, b, c – довільні числа, причому a ≠ 0.

Графіки функцій y = ax2 + bx + c і y = ax2 – одинакові параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням. Будь-яку функцію y = ax2 + bx + c можна представити у вигляді y = a (x + m)2 – n, де m і n – деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції y = ax2 + bx +  можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції y = ax2.

Отже, щоб дістати графік функції y = -2x2 + 12x – 19, треба  зробити з графіком функції y = 2x2 перетворення:

  1. Відобразити симетрично осі Ox;
  2. Зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізки в напрямі осі Ox;
  3. Зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.

Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції y = -2x2 + 12x – 19.

Побудова параболи

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.

  1. Координати вершини параболи y = ax2 + bx + c: X0 = x2 = – b:2a; y0 = y2 = (-b + 4ac):4a або y0 = y (x0).
  • Точки перетину параболи з осями координат є такими: абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді y(0) = c, (0; c); Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння ax2 + bx + c = 0.

Якщо це рівняння має два різних корені x1 і x2, графік перетинає вісь Ox у точках (x1;0), (x2;0).

Якщо це рівняння має один корінь (тобто D = 0 ), то цей корінь X0 = – b:2a.

Це означає, що вершина параболи лежить на осі )x і має координати (-b/2a;0).

Якщо це рівняння не має коренів ( D < 0 ), парабола не перетинає вісь Ox.

  • Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.

Якщо a > 0, вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо a < 0, вітки параболи напрямлені вниз.

  • Парабола є симетричною відносно прямої x = – b:2a.

Також можливо вам потрібна такі теми: Логарифмічна функція, Степенева функція.

Записи створено 36

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Схожі записи

Почніть набирати текст зверху та натисніть "Enter" для пошуку. Натисніть ESC для відміни.