Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду ax² + bx + c, де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому a ≠ 0.

Корнем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яку перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння ax² + bx + c = 0.

Теорема. Якщо x₁ і x₂  – корені квадратного тричлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a (x-x₁)(x-x₂).

Квадратична функція – це функція, яку можна задати формулою виду y = ax² + bx + c, де x – незалежна змінна a, b, c – довільні числа, причому a ≠ 0.

Графіки функцій y = ax² + bx + c і y = ax² – одинакові параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням. Будь-яку функцію y = ax² + bx + c можна представити у вигляді y = a (x + m)² – n, де m і n – деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції y = ax² + bx +  можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції y = ax².

Отже, щоб дістати графік функції y = -2x² + 12x – 19, треба  зробити з графіком функції y = 2x² перетворення:

1. Відобразити симетрично осі Ox;
2. Зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізки в напрямі осі Ox;
3. Зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.

Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції y = -2x² + 12x – 19.

Побудова параболи

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.

1. Координати вершини параболи y = ax² + bx + c: X₀ = x₂ = – b:2a; y₀ = y₂ = (-b + 4ac):4a або y₀ = y (x₀).

• Точки перетину параболи з осями координат є такими: абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді y(0) = c, (0; c); Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння ax² + bx + c = 0.

Якщо це рівняння має два різних корені x₁ і x₂, графік перетинає вісь Ox у точках (x₁;0), (x₂;0).

Якщо це рівняння має один корінь (тобто D = 0 ), то цей корінь X₀ = – b:2a.

Це означає, що вершина параболи лежить на осі )x і має координати (-b/2a;0).

Якщо це рівняння не має коренів ( D < 0 ), парабола не перетинає вісь Ox.

• Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.

Якщо a > 0, вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо a < 0, вітки параболи напрямлені вниз.

• Парабола є симетричною відносно прямої x = – b:2a.

Також можливо вам потрібна такі теми: Логарифмічна функція, Степенева функція.