Корені. Ірраціональні вирази

Вирази, які містять корені із змінних або виразів, називаються ірраціональними.

Квадратний корень

Квадратним коренем із числа a називається число, квадрат якого дорівнює a.

Квадратний корінь із числа 0 дорівнює 0. Квадратного кореня з від’ємного числа не існує, оскільки квадрат будь-якого числа невід’ємним.

Квадратний корінь із додатного числа має два протилежних значення – додатне і від’ємне. Наприклад: 3² = 9 і (-3²) = 9, тобто числа 3 і -3 є квадратними коренями з числа 9.

Невід’ємне значення квадратного кореня називають арифметичним коренем.

Позначення: √a; a – підкореневий вираз.

Зверніть увагу: вираз √a має зміст тільки для a ≥ 0.

Отже, для a ≥ 0 (√a)² = a.

Приклад

1. √9 = 3.
2. x² = 9; x = ±3.
3. x² = 0; x = 0.
4. x² = 7; x = ±√7.

Властивості арифметичного квадратного кореня

1. √ab = √a×√b, a ≥ 0, b ≥ 0. Корінь із добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів із цих чисел.
2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню чисельника, а поділеному на корінь із знаменника.
3. √a^2k = a^k, a ≥ 0. Корінь із степеня a^2k, у якому число a невід’ємне і k – натуральне, дорівнює a^k. Отже, √a² = │a│для довільного a.

Перетворення виразів із коренями

Винесення множника за знак кореня здійснюється на основі теореми про корінь з добутку. Для цього треба підкореневий вираз розкласти на множники, деякі з яких є квадратами. √50 = √(25×2) = 5√2.

Перетворення обернене до винесення множника за знак кореня, називається внесенням множника під знак кореня. 7√10 = √(49×10) = √490.

Корінь n-го степеня та його властивості

Коренем n-го степеня з числа a називається таке число, n-й степінь якого дорівнює a ( n ∈ Z). Якщо n – число непарне, то існує – і до того ж тільки один – корінь n-го степеня з довільного числа a. Цей корінь – число того самого знак, що числа a, і дорівнює 0, якщо a = 0.

Арифметичним коренем n–го степеня з невід’ємного числа назвивається невід’ємне число, n-q степінь якого дорівнює a.