Чотирикутники

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються проти­леж­ними. Відріз­ки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами.
Периметр чотирикутника — сума дов­жин усіх його сторін.

Чотирикутник називається опуклим, ­якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.
На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP — неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360^o.

Паралелограм

Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
На рисунку ABCD — паралелограм. AB││CD; BC││AD.

Властивості паралелограма:

Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: AB=CD, BC=AD (дивись вищенаведений рисунок). У паралелограма протилежні кути рівні: кут А = кут C, кут B = кут D.
Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють 180^o:
кут A + кут B = 180^o; кут A + кут D = 180^o;
кут B + кут C = 180^o; кут C + кут D = 180^o.
Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться нав­піл.
; BO=OD.
Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники.
На рисунку нижче зліва U ABC = U CDA. На рисунку справа U ABD = U CDB.

Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

На рисунку U AOB = U COD; U BOC = U DOA.

• Ознаки паралелограма Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.
• Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
• Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
• Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.
  
• Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють 180^o, то цей чотирикутник — паралелограм.
• Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм. Кут між висотами паралелограма.

Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах.
На рисунку h₁ і h₂ — висоти паралело­грамa.

Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку внизу зліва зображений кут між висотами паралелограма, опущеними з тупого кута, на рисунку справа — між висотами, опущеними з гострого ­кута:

Властивості бісектрис кутів паралелограма

• 1. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендику­лярні.
• 2. Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб).
• 3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник.
• На рисунку BM││KD; BM⏊AP; BM⏊CF;U ABP — рівнобедрений; AB=BP; U KCD— рівнобедрений, CK=CD.

Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші.
Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.
На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD .
U AOB=U COD; U BOC = U DOA — рівнобедрені.

Ознаки прямокутника

• Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником.
• Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником.
• Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником.
• Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.
  

Ромб

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші.
Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
На рисунку ABCD — ромб;
AB=BC=CD=DA; AC⏊BD; кут ABO = кут CBO = кут ADO = кут CDO;
кут BAO = кут DAO = кут BCO = кут DCO; KO = ON;

Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.
Теорема 3. Висоти ромба рівні:

Ознаки ромба

• Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом.
• Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.
• Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.
• Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.

Квадрат

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата

Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо:

Властивості квадрата:

• 1) у квадрата всі сторони рівні;
• 2) у квадрата всі кути рівні;
• 3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;
• 4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники.

На рисунку ABCD — квадрат. AB = BC = CD = AD ; кут А = кут В = кут С = кут D; AC=BD; U AOB = U BOC = U COD = U AOD.

Ознаки квадрата

• Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.
• Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.
• Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

Трапеція

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші — бічними сторо­нами.

Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок нижче справа).
Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180^o.

Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.
Теорема 2. Середня лінія трапе­ції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції (рисунок посередині).

Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між ­собою.
Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2).

Властивості рівнобічної трапеції

• 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва).
• 2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.
• 3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути.
• 4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).

Додаткові побудови, що використовуються для розв’язуваннязадач на трапецію 1) На рисунку AN+MD=AD-BC; MN=BC; BCMN — прямокутник.

Зверніть увагу: якщо  AB=CD (див. рисунок), то (формула біля рисунка)

2) На рисунку CF││AB; ABCF — паралелограм.  кут CFD = куту A; кут DCF = кут BCD – кут A; FD = AD – BC.

3) На рисунку CK││BD; BCKD — паралелограм. BC=DK. Сторони U ACK : AK=AD+BC; CK=BD.

Висота CF U ACK збігається з висотою трапеції. Якщо трапеція ABCD рівнобічна, то U ACK — рівнобедрений.

Теорема Фалеса

Теорема 1 (Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.
На рисунку A₁B₁││A₂B₂││A₃B₃;
 A₁A₂=A₂A₃; B₁B₂=B₂B₃.
Зверніть увагу: A1A2 не дорівнює B1B2

Теорема має місце не тільки для сторін кута, а й для довільних прямих.
Теорема 2 (про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.
На рисунку A1A2/A2A3=B1B2/B2B3

Також правильним є: PB1/PB2=PA1/PA2; PB2/PB3=PA2/PA3; A1B2/A3B3=PB2/PB3; і т.д.