Категорія: Елементи математичного аналізу

Первісною для даної функції y=f(x) на заданому проміжку (a;b) називається така функція F(x), що F’(x)=f(x) для всіх x є (a;b).Операція знаходження первісної F для даної функції y=f(x) називається Інтегруванням.Теорема 1. Будь-яка неперервна на відрізку [a;b] функція y=f(x) має первісну функцію.Лема. Якщо F’(x)=0 на деякому проміжку, то F(x)=C на цьому проміжку, де C – стала.Теорема 2. Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для f(x), то на цьому проміжку […]

Нехай функція f(x) визначена на проміжку (a;b) і x­0 ­є (a;b).Функція називається Зростаючою в точці x0­, якщо існує інтервал (x0-δ; x0+δ), де δ > 0, який міститься у проміжку (a;b) і є таким, що f(x) < f (x­­0­­) для всіх x з інтервалу (x0-δ; x0) і f(x) > f(xo)  для всіх x з інтервалу (xo; xo+δ). Функція називається Спадною в точці x­o, якщо існує інтервал (x0-δ; x0+δ), який […]

Отже, нехай функція f(x) неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал І розбивається цими точками на інтервали, в кожному з яких f(x)  зберігає незмінний знак. Щоб визначити цей знак, достатньо обчислити значення f(x) у будь-якій точці кожного такого інтервалу.Приклад найдемо нулі функції y(x):x1 = 3, x2 = – […]

Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від 0 чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число q називають Знаменником геометричної прогресії.Формула n-го члена геометричної про­гресії:bn = b1qn-1.Теорема. Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з […]

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число d називається Різницею арифметичної прогресії.Арифметична прогресія буде зростаючою, якщо d > 0, і спадною, якщо d < 0. Прогресію можна задати за допомогою першого члена a1 і різниці прогресії […]

Розглянемо яку-небудь множину, що містить N0 дійсних чисел і кожний елемент якої відповідає одному з натуральних чисел від 1 до N­0, або нескінченну множину дійсних чисел, кожному елементу якої можна поставити у відповідність натуральне число. Такі числа можна записати в певному порядку. Кажуть, що вони утворюють Послідовність. На­при­клад:2; 4; 6; 8; … – послідовність парних чисел;1; 3; 5; […]